Viaje relativista

Atrás

Este texto pretende resolver el movimiento de un artilugio en un viaje a aceleración constante de acuerdo con la relatividad especial. En este viaje dicho artilugio tiene un sistema de propulsión que le proporciona una aceleración constante durante la primera mitad del viaje, luego gira sobre sí mismo 180° y decelera con la misma intensidad hasta pararse.

Este problema fue expuesto por Carl Sagan en su serie de divulgación Cosmos: un viaje personal como ilustración de un viaje interestelar. Un viajero en el interior del aparato sentiría una fuerza ficticia debida a la inercia de magnitud igual al producto de su masa por la aceleración del artilugio, de modo que si esta última fuera igual a la aceleración de la gravedad terrestre, por ejemplo, le resultaría indistinguible su situación a la de estar en reposo en su casa en la Tierra.

Aquí se tratarán de deducir las transformaciones de Lorentz, que relacionan las coordenadas de un suceso (coordenadas espacio-temporales) en dos sistemas de referencia en movimiento mutuo a velocidad constante, de donde se obtendrán las que relacionan las variables cinemáticas (velocidad y aceleración) en dichos sistemas de referencia; para luego aplicar estos resultados al problema propuesto.

Índice de contenidos

  1. Transformaciones de Galileo
  2. Transformaciones de Lorentz
    1. Un pequeño experimento
    2. Transformaciones de las distancias
    3. Transformaciones de las velocidades
    4. Transformaciones de las aceleraciones
  3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
  4. Viaje relativista a aceleración constante
  5. Referencias
  6. Recursos empleados en este artículo

Transformaciones de Galileo

Una transformación de coordenadas relaciona las coordenadas de un mismo punto (en nuestro caso añadimos el tiempo, por lo que se trata de un suceso) en dos sistemas de referencia. Tradicionalmente (y aún hoy en la mayoría de ocasiones, por motivos prácticos) se han relacionado las coordenadas de dos sistemas de referencia de ejes paralelos (uno no rota respecto al otro) aplicando las transformaciones de Galileo:

Si de un árbol cae una manzana, podemos medir con precisión el lugar y el momento en que cae, condensando esto en cuatro coordenadas (t,x,y,z), una temporal -t, el momento en el que llega al suelo- y tres espaciales -x, y y z, que nos indicarán el lugar en el que lo hace. Por otro lado, desde el punto de vista del pasajero de un tren que se desplaza a velocidad v constante sobre el eje X junto al árbol el mismo suceso tendría otras coordenadas (t',x',y',z'), que se relacionan con las anteriores de la siguiente forma:

\begin{aligned} t'&=t\\ x'&=x-vt\\ y'&=y\\ z'&=z \end{aligned}

Esto es fácil de comprender, pues lo único que hemos hecho es añadir el desplazamiento del tren. Cabe puntualizar que estas transformaciones se aplican cuando los dos sistemas de referencia tienen los ejes paralelos en todo momento y comparten su origen, es decir, en el momento en que se empieza a contar el tiempo en un sistema de referencia también se empieza a contar en el otro y los orígenes de coordenadas espaciales -los puntos desde los que se miden las distancias en cada sistema de referencia- están en el mismo lugar.

La forma más general de las ecuaciones (1.1) en la que los dos sistemas de referencia no tienen los ejes paralelos, o la velocidad del tren no tiene la dirección del eje X es igualmente válida, pero dado que es más complicada trabajaremos mejor escogiendo a conveniencia la orientación de los ejes. Tras esto siempre se puede obtener la forma general mediante una rotación de los sistemas de referencia.

Asímismo si consideramos que los sistemas de referencia no tienen el origen en el mismo punto habría que añadir este desplazamiento a las ecuaciones:

\begin{aligned} t'&=t+t_0'\\ x'&=x-vt+x_0'\\ y'&=y+y_0'\\ z'&=z+z_0' \end{aligned}

En ellas se especifica la posición que el origen de coordenadas del sistema en movimiento tenía respecto al que se encuentra en reposo en el momento t=0 como (t0',x0',y0',z0'). Sin embargo de nuevo podemos escoger los sistemas de referencia haciendo que sus orígenes coincidan (tanto los ejes espaciales como el eje temporal) para simplificar estas ecuaciones de forma que queden las (1.1) y deshacer el cambio cuando lo creamos conveniente.

Estas simplificaciones pueden hacerse debido a la invarianza de las leyes de la física respecto a dos transformaciones: las rotaciones en primer lugar y las traslaciones. Esta es una premisa presente en todos los ámbitos de la física.

Éstas relacionan las coordenadas de un suceso en distintos sistemas de referencia y a partir de ellas podemos obtener las que hacen lo propio con las velocidades (u y u') y aceleraciones (a y a') medidas en ellos derivando sucesivamente las mismas respecto al tiempo (recuérdese que la velocidad v es constante y que los tiempos medidos por ambos observadores son iguales):

\begin{aligned} u_x'&=u_x-v\\ a_x'&=a_x \end{aligned}

Siendo el resto de componentes iguales en los dos sistemas. Según estos resultados la velocidad de un objeto -digamos un pájaro- que mide un observador desde tierra será la suma de la del tren y la que el pasajero mide, y la aceleración de otro -pongamos la manzana cayendo- será la misma para los dos observadores.

Aunque estamos muy acostumbrados a pensar de este modo y estas transformaciones parecen intuitivas, presentan no pocos problemas. Uno muy conocido es que según ellas si de un foco luminoso parte un rayo de luz a velocidad c, a un observador móvil debería llegarle con una velocidad que sea la suma de la suya propia y con la que parte el rayo de luz. En 1887 el experimento realizado por A. A. Michelson y E. Morley descartó esa posibilidad. Pero quizás el más decisivo fue que aplicando estas transformaciones las leyes del electromagnetismo arrojan resultados distintos para observadores que se mueven a distintas velocidades.

Volver al índice

Transformaciones de Lorentz

Ante el problema de la inconsistencia del electromagnetismo con las transformaciones de Galileo, hacia 1900 H. A. Lorentz propuso unas transformaciones de coordenadas que la resolvían, pero su interpretación fue confusa. No fue hasta los trabajos de A. Einstein 5 años después cuando sus ecuaciones fueron finalmente aceptadas.

Einstein propuso dos postulados relativamente simples:

  1. Las leyes de la física son invariantes frente a transformaciones de Lorentz.
  2. La velocidad de la luz en el vacío es constante e igual para todos los sistemas de referencia inerciales (los que no perciben ninguna aceleración).

Estos están respaldados por datos experimentales y son consistentes con el electromagnetismo, y por lo que sabemos hasta ahora con la gravitación y el resto de fuerzas de la naturaleza. Partiendo de ellos se llega a que las transformaciones de Lorentz, a las que se refieren, han de tener la forma siguiente (como antes, por simplicidad y sin pérdida de generalidad se suponen ejes paralelos y orígenes de coordenadas que coinciden, además del movimiento sobre el eje X):

\begin{aligned} t'&=at+bx\\ x'&=ct+dx\\ y'&=y\\ z'&=z \end{aligned}

O tomando intervalos (aplicándolas a dos sucesos dados):

\begin{aligned} \Delta{t'}&=a\Delta{t}+b\Delta{x}\\ \Delta{x'}&=c\Delta{t}+d\Delta{x}\\ \Delta{y'}&=\Delta{y}\\ \Delta{z'}&=\Delta{z} \end{aligned}

Momento a partir del cual se propone el siguiente experimento para obtener los coeficientes a, b, c y d.

Volver al índice

Un pequeño experimento

Consideremos un vagón de tren que se mueve a velocidad v horizontalmente a lo largo del eje X, de cuyo suelo parte verticalmente un rayo de luz (suceso A) que llega al techo, donde es detectado (suceso B).

Un pasajero del vagón contemplaría la siguiente situación:

Experimento visto por un observador en el tren
Desde el punto de vista del vagón en movimiento el espacio recorrido por el rayo de luz es simplemente la altura del vagón.

En la que le resultaría evidente que el rayo de luz recorre una distancia igual a la altura del vagón, es decir,

h'=c\Delta{t'}

Nótese que notamos las medidas en este sistema de referencia con un apóstrofe para distinguirlas de aquellas tomadas desde tierra y que a pesar de ello denotamos la velocidad de la luz, c, sin apóstrofe. Esto es debido a que partimos de la hipótesis de que la velocidad de la luz en el vacío es independiente del sistema de referencia (c=c').

Por otra parte un observador en tierra firme vería que el vagón se ha movido entre los sucesos A (el rayo de luz parte de su origen) y B (el rayo llega a su destino), de modo que observaría una trayectoria oblícula tal y como ilustra la siguiente figura:

Experimento visto por un observador en tierra
Un observador en tierra vería que el rayo toma una trayectoria oblicua más larga que la que vería el pasajero (recordemos que según las ecuaciones (2.2) la altura del tren es la misma para ambos observadores). Como la velocidad de la luz es la misma para los dos observadores el observador en tierra mide un tiempo mayor entre que el rayo de luz sale del suelo y llega al techo.

Como partimos de la hipótesis de que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, y la trayectoria que ve el observador en tierra del rayo es oblícua y por lo tanto más larga (la altura del vagón es la misma para los dos observadores), éste debe medir un tiempo mayor que el pasajero entre los dos sucesos.

Aplicando el teorema de Pitágoras sobre la figura anterior, este observador obtendría lo siguiente:

\left(c\Delta{t}\right)^2=h^2+\left(v\Delta{t}\right)^2

Como la altura del tren es la misma para ambos observadores, pues esta dirección es perpendicular al movimiento y según las transformaciones (2.2) las medidas en estas direcciones no se ven afectadas por la velocidad del observador, h=h' y sustituyendo el resultado del pasajero en la ecuación obtenida por el observador en tierra se tiene:

\left(c\Delta{t}\right)^2=\left(c\Delta{t'}\right)^2+\left(v\Delta{t}\right)^2

O reagrupando y sacando raíces cuadradas:

\Delta{t}=\frac{\Delta{t'}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Como v2/c2 siempre es positivo por tratarse de un cuadrado el denominador del miembro de la derecha es menor que 1, y por consiguiente Δt>Δt': El tiempo medido por el observador en tierra entre dos sucesos que ocurren en el vagón es mayor que el que mide el pasajero.

Además entre los sucesos A y B las distancias sobre el eje X medidas por cada observador (recuérdese que estamos notando con un apóstrofe las medidas que toma el pasajero del tren y sin él las que toma un observador en tierra) son las siguientes:

\begin{aligned} \Delta{x'}&=0\\ \Delta{x}&=v\Delta{t}=\frac{v\Delta{t'}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{aligned}

Aplicando estos resultados a las transformaciones (2.2) se obtiene:

\begin{aligned} \Delta{t'}&=a\frac{\Delta{t'}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+b\frac{v\Delta{t'}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ 0&=c\frac{\Delta{t'}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+d\frac{v\Delta{t'}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{aligned}

O lo que es lo mismo:

\begin{aligned} a+vb&=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\\ c&=-vd \end{aligned}

Si ahora realizamos el experimento inverso, en el que el rayo parte del suelo de un edificio y se detecta en su techo, se daría una situación similar, pero en la que el pasajero del tren mediría un tiempo y una distancia entre estos sucesos como los siguientes:

\begin{aligned} \Delta{t'}&=\frac{\Delta{t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \Delta{x'}&=-v\Delta{t'}=-\frac{v\Delta{t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{aligned}

Además, como los sucesos ocurrirían en el mismo punto del eje X desde el punto de vista del observador en la casa las ecuaciones (2.2) quedarían de la siguiente forma:

\begin{aligned} \Delta{t'}&=\frac{\Delta{t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=a\Delta{t}\\ \Delta{x'}&=-v\Delta{t'}=-\frac{v\Delta{t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=c\Delta{t} \end{aligned}

De donde

\begin{aligned} a&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ c&=-\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{aligned}

Y sustituyendo en el resultado del primer experimento,

\begin{aligned} b&=-\frac{1}{c^2}\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ d&=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{aligned}
Volver al índice

Transformaciones de las distancias

De acuerdo con el experimento anterior, las ecuaciones (2.2), que relacionan las distancias medidas por dos observadores, S y S', el segundo de los cuales se mueve respecto al primero a lo largo del eje X con una velocidad constante v, quedan de la siguiente forma:

\begin{aligned} \Delta{t'}&=\frac{\Delta{t}-\frac{v\Delta{x}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \Delta{x'}&=\frac{\Delta{x}-v\Delta{t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \Delta{y'}&=\Delta{y}\\ \Delta{z'}&=\Delta{z} \end{aligned}

Nótese que si v es mucho menor que c se recuperan las transformaciones de Galileo (1.1). Operando correctamente se comprueba que las transformaciones inversas se obtienen simplemente cambiando de signo la velocidad v:

\begin{aligned} \Delta{t}&=\frac{\Delta{t'}+\frac{v\Delta{x'}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \Delta{x}&=\frac{\Delta{x'}+v\Delta{t'}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \Delta{y}&=\Delta{y'}\\ \Delta{z}&=\Delta{z'} \end{aligned}

Mediante una rotación de un ángulo dado en torno a un eje arbitrario se obtiene una forma más general de estas ecuaciones, en la que v ahora es un vector en cualquier dirección y que en forma vectorial (Δr=(Δx,Δy,Δz) y Δr'=(Δx',Δy',Δz') son vectores equivalentes en cada sistema de referencia) quedarían expresadas de la siguiente forma:

\begin{aligned} \Delta{t'}&=\frac{\Delta{t}-\frac{\vec{v}\vec{\Delta{r}}}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \vec{\Delta{r'}}&=\vec{\Delta{r}}+\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)\frac{\left(\vec{v}\vec{\Delta{r}}\right)}{v^2}\vec{v}-\frac{\Delta{t}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\vec{v} \end{aligned}
Volver al índice

Transformaciones de las velocidades

Cuando un objeto cambia su posición se define la velocidad media de éste como el cociente entre su desplazamiento y el tiempo que ha tardado en realizarlo. Si tomamos puntos lo más cercanos posibles en la trayectoria del objeto a la velocidad así calculada se le llama velocidad instantánea ya que en el caso límite los puntos coincidirán, y el tiempo trascurrido durante el desplazamiento será nulo, por lo que será una propiedad del objeto en movimiento en cada instante. Al hecho de tomar este límite se le llama derivar la posición respecto al tiempo.

Al tomar el límite en el que los puntos de partida y de llegada coinciden el tiempo trascurrido se hace nulo. Esto nos deja que al intentar calcular la velocidad media (en este caso la instantánea) tengamos que dividir por 0. Dividir por 0 es un imposible matemático, pero usando el concepto de límite podemos evitarlo. Si dividimos un número, por ejemplo 1 entre números cada vez más cercanos a 0 obtendremos cada vez resultados mayores. En este caso el límite del cociente se dice que es infinito. Sin embargo si dividimos números cada vez más cercanos a 0 por otros también cada vez más cercanos a 0 puede darse el caso en el que los cocientes sucesivos tiendan a algún valor distinto de 0 y de infinito.

Siempre que el movimiento sea contínuo, sin cambios bruscos en la posición, se podrá calcular la velocidad instantánea, pues aunque el tiempo tiende a 0 también lo hace el desplazamiento.

Si consideramos dos sistemas de referencia S y S' en desplazamiento mutuo a lo largo del eje X a velocidad v, y un objeto moviéndose con una velocidad u=(ux,uy,uz) en S, podemos usar las ecuaciones (2.5) para obtener su velocidad u'=(ux',uy',uz') en S'. En S' la velocidad media de este objeto se calculará dividiendo su desplazamiento Δr'=(Δx',Δy',Δz') por el tiempo invertido en éste, Δt', que aplicando las transformaciones de Lorentz queda como a continuación:

\begin{aligned} \frac{\Delta{x'}}{\Delta{t'}}&=\frac{\Delta{x}-v\Delta{t}}{\Delta{t}-\frac{v\Delta{x}}{c^2}}\\ \frac{\Delta{y'}}{\Delta{t'}}&=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\Delta{y}}{\Delta{t}-\frac{v\Delta{x}}{c^2}}\\ \frac{\Delta{z'}}{\Delta{t'}}&=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\Delta{z}}{\Delta{t}-\frac{v\Delta{x}}{c^2}} \end{aligned}

Dividiendo numerador y denominador del miembro de la derecha por Δt obtenemos el mismo resultado, de modo que:

\begin{aligned} \frac{\Delta{x'}}{\Delta{t'}}&=\frac{\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}-v}{1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}}\\ \frac{\Delta{y'}}{\Delta{t'}}&=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}}{1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}}\\ \frac{\Delta{z'}}{\Delta{t'}}&=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\frac{\Delta{z}}{\Delta{t}}}{1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}} \end{aligned}

Tomando el límite cuando el tiempo considerado en S' tiende a 0 el tiempo medido en S también tiende a 0 y obtenemos la relación entre las velocidades instantáneas en cada sistema de referencia:

\begin{aligned} u_x'&=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}\\ u_y'&=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x}{c^2}}u_y\\ u_z'&=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x}{c^2}}u_z \end{aligned}

Mediante el mismo procedimiento pero aplicando las transformaciones inversas (2.6) hallamos que las transformaciones inversas de las velocidades se obtienen simplemente cambiando de signo la velocidad v:

\begin{aligned} u_x&=\frac{u_x'+v}{1+\frac{vu_x'}{c^2}}\\ u_y&=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{vu_x'}{c^2}}u_y'\\ u_z&=\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{vu_x'}{c^2}}u_z' \end{aligned}

Podemos observar que estas transformaciones, conocidas como la ley de adición de velocidades, distan mucho de la simplicidad de las de Galileo. Entre otras cosas ahora las componentes perpendiculares al movimiento relativo entre los sistemas de referencia son distintas en cada uno. Además, como puede verse en la figura 2.3, siempre que la velocidad respecto a un sistema de referencia sea menor que la de la luz, en otro que se mueve respecto al primero también será menor independientemente de la velocidad entre los sistemas de referencia.

Relación entre la velocidad de un objeto medida en distintos sistemas de referencia
La relación entre el módulo de la velocidad de un objeto medida en un sistema de referencia y otro depende de la componente de ésta sobre el eje del movimiento mutuo de los sistemas. Aquí se representan cuando la velocidad del objeto es paralela a este eje y en cada sentido (magenta en el sentido del movimiento de los observadores y azul en el contrario), cuando es perpendicular (rojo) y cuando no es ni lo uno ni lo otro (verde y azul claro). Todas ellas cuando la velocidad a la que se mueven los observadores entre sí es 0.75c. Nótese que la velocidad medida en S es igual a aquella a la que se desplaza S' (0.75c) cuando la medida en S' es 0. Además cuando el objeto se desplaza sobre el eje del movimiento pero en sentido contrario en S se mide una velocidad 0 cuando la medida en S' coincide con la velocidad de S' en S. Y lo que es más importante, la velocidad medida por cualquier observador siempre es menor que la de la luz.

Viendo esto es fácil observar que nada que se desplace más despacio que la luz puede acelerar a mayor velocidad que ésta. Si mientras un observador S ve un objeto desplazarse con una velocidad dada menor que la de la luz otro S', desplazándose con el objeto observa que acelera (desde velocidad 0) hasta una velocidad menor que la de la luz (siempre que el acelerón no sea brusco -en el sentido más estricto del término- habrá un momento en que su velocidad sea menor que la de la luz), S siempre observará al objeto desplazarse a menor velocidad que la de la luz.

Volver al índice

Transformaciones de las aceleraciones

Tal y como se hace con la velocidad, se define la aceleración media de un objeto en movimiento como el cociente entre el incremento en su velocidad y el tiempo empleado en el mismo, y la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media cuando el intervalo temporal tiende a 0.

Si un objeto tiene una velocidad u(A)=(ux(A),uy(A),uz(A)) en un sistema de referencia S dado y otra u(A)'=(ux(A)',uy(A)',uz(A)') en otro S' que se desplaza respecto al primero a una velocidad v constante, y acelera hasta unas velocidades u(B)=(ux(B),uy(B),uz(B)) en S y u(B)'=(ux(B)',uy(B)',uz(B)') en S', podemos usar la ley de adición de velocidades (2.7) para hallar la relación entre sus aceleraciones medias en S y en S'. Para esto empleamos la definición de aceleración media:

\begin{aligned} \frac{\Delta{u_x'}}{\Delta{t'}}&=\frac{u_x^{(B)'}-u_x^{(A)'}}{\Delta{t'}}\\ \frac{\Delta{u_y'}}{\Delta{t'}}&=\frac{u_y^{(B)'}-u_y^{(A)'}}{\Delta{t'}}\\ \frac{\Delta{u_z'}}{\Delta{t'}}&=\frac{u_z^{(B)'}-u_z^{(A)'}}{\Delta{t'}} \end{aligned}

Aplicando la ley de adición de velocidades (2.7) y las transformaciones de posiciones (2.5) obtenemos cada componente:

Componentes perpendiculares a la velocidad de S'

Éstas tienen transformaciones similares que difieren únicamente el subíndice y o z. Según las transformaciones (2.7) la componente y de la aceleración media se obtiene como a continuación:

\begin{aligned} \frac{\Delta{u_y'}}{\Delta{t'}}&=\frac{u_y^{(B)'}-u_y^{(A)'}}{\Delta{t'}}\\ &=\frac{1}{\Delta{t'}}\left(\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x^{(B)}}{c^2}}u_y^{(B)}-\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_x^{(A)}}{c^2}}u_y^{(A)}\right) \end{aligned}

Aplicando las transformaciones de coordenadas (2.5) sustituyendo Δt', sacando factor común la raíz cuadrada y operando un poco queda:

\begin{aligned} \frac{\Delta{u_y'}}{\Delta{t'}}&=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{\left(1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}\right)\Delta{t}}\left(\frac{u_y^{(B)}}{1-\frac{vu_x^{(B)}}{c^2}}-\frac{u_y^{(A)}}{1-\frac{vu_x^{(A)}}{c^2}}\right)\\ &=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{\left(1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}\right)\Delta{t}}\left(\frac{u_y^{(B)}-u_y^{(A)}+\frac{v}{c^2}(u_x^{(B)}u_y^{(A)}-u_x^{(A)}u_y^{(B)})}{\left(1-\frac{vu_x^{(B)}}{c^2}\right)\left(1-\frac{vu_x^{(A)}}{c^2}\right)}\right) \end{aligned}

Ahora bien, puede comprobarse que ux(B)uy(A)-ux(A)uy(B)=uy(B)(ux(B)-ux(A))-ux(B)(uy(B)-uy(A)), de modo que lo anterior queda como a continuación:

\frac{\Delta{u_y'}}{\Delta{t'}}=\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{\Delta{u_y}}{\Delta{t}}+\frac{v}{c^2}\left(u_y^{(B)}\frac{\Delta{u_x}}{\Delta{t}}-u_x^{(B)}\frac{\Delta{u_y}}{\Delta{t}}\right)\right)}{\left(1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}\right)\left(1-\frac{vu_x^{(B)}}{c^2}\right)\left(1-\frac{vu_x^{(A)}}{c^2}\right)}

Considerando A y B lo más cercanos posible se obtiene la componente y de la aceleración instantánea en S' en relación a la que tiene el objeto en S. En este límite el cociente Δx/Δt se convierte en la componente X de la velocidad instantánea del objeto en cuestión, y ux(A) y ux(B) también tienden a ese valor. Además los cocientes entre el incremento de las componentes de la velocidad y el tiempo trascurrido tienden a las de la aceleración instantánea, es decir, que reordenando convenientemente se obtiene la siguiente relación:

a_y'=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{\left(1-\frac{vu_x}{c^2}\right)^2}\left(a_y+\frac{\frac{vu_y}{c^2}}{1-\frac{vu_x}{c^2}}a_x\right)

De la misma forma se obtiene el resultado siguiente:

a_z'=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{\left(1-\frac{vu_x}{c^2}\right)^2}\left(a_z+\frac{\frac{vu_z}{c^2}}{1-\frac{vu_x}{c^2}}a_x\right)

Procediendo de la misma manera, pero aplicando las transformaciones inversas (2.8) en lugar de las (2.7), nuevamente se llega a las transformaciones inversas de las aceleraciones simplemente cambiando el signo de la velocidad v:

\begin{aligned} a_y&=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{\left(1+\frac{vu_x'}{c^2}\right)^2}\left(a_y'-\frac{\frac{vu_y'}{c^2}}{1+\frac{vu_x'}{c^2}}a_x'\right)\\ a_z&=\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{\left(1+\frac{vu_x'}{c^2}\right)^2}\left(a_z'-\frac{\frac{vu_z'}{c^2}}{1+\frac{vu_x'}{c^2}}a_x'\right) \end{aligned}

Como puede verse aparece la componente X de la aceleración. Aunque un observador se desplace en la dirección de la aceleración que se mide en otro observará una componente perpendicular en la dirección del movimiento del objeto.

Componente paralela a la velocidad de S'

Según (2.7) esta componente de la aceleración media se obtendrá como a continuación:

\begin{aligned} \frac{\Delta{u_x'}}{\Delta{t'}}&=\frac{u_x^{(B)'}-u_x^{(A)'}}{\Delta{t'}}\\ &=\frac{1}{\Delta{t'}}\left(\frac{u_x^{(B)}-v}{1-\frac{vu_x^{(B)}}{c^2}}-\frac{u_x^{(A)}-v}{1-\frac{vu_x^{(A)}}{c^2}}\right) \end{aligned}

Sustituyendo Δt' de acuerdo con las transformaciones de coordenadas (2.5) y operando un poco se llega a lo siguiente:

\frac{\Delta{u_x'}}{\Delta{t'}}=\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}\right)\left(1-\frac{vu_x^{(B)}}{c^2}\right)\left(1-\frac{vu_x^{(A)}}{c^2}\right)}\frac{\Delta{u_x}}{\Delta{t}}

En el límite en que los sucesos considerados, A y B, son lo más próximos posible el cociente Δx/Δt tiende a la componente de la velocidad en S sobre el eje X, así como ux(A) y ux(B), de modo que se obtiene la siguiente relación entre las aceleraciones instantáneas que se miden en cada sistema de referencia:

a_x'=\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(1-\frac{vu_x}{c^2}\right)^3}a_x

Haciendo lo mismo, pero con las transformaciones inversas (2.6) y (2.8) se llega igualmente a las transformaciones inversas para esta componente de la aceleración cambiando el signo de la velocidad v:

a_x=\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(1+\frac{vu_x'}{c^2}\right)^3}a_x'
Volver al índice

Aunque se ha hecho implícitamente hasta ahora no se ha usado la derivación. Cuando dos variables están relacionadas como lo están la posición de un objeto o su velocidad y el tiempo en su trayectoria se puede derivar la primera respecto a la segunda (véase el capítulo sobre derivabilidad en el enlace anterior). Por definición es lo mismo que tomar el límite del cociente entre los incrementos de estas variables cuando se toman puntos que tienden a coincidir. Esto se escribe de la siguiente manera:

\frac{dx}{dt}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow 0}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}

Los resultados anteriores se pueden obtener de forma mas rápida aplicando una serie de reglas de derivación, pero se escogió hacerlo de esta manera para que el lector menos curtido en las artes pueda seguir el texto sin dificultad. Sin embargo a continuación se hace necesario emplear otro concepto, el de integral, que representa el proceso inverso de la derivación. Una función es la integral indefinida o primitiva de otra si la segunda es su derivada.

Si el concepto de derivada está relacionado con el de variación de una variable respecto a otra el de integral lo está con el de acumulación de esta variación en un intervalo dado. Si conocemos la velocidad de un objeto en todo momento, v(t), podemos aproximar el espacio que ha recorrido, Δx, en un determinado intervalo de tiempo Δt suficientemente pequeño como si se moviera a velocidad constante:

\Delta{x}=v(t_i)\Delta{t}

Donde ti es el momento inicial del intervalo. Si sumamos aproximaciones sucesivas obtendremos el espacio que recorre en un intervalo arbitrario, y si tomamos el límite de esta suma cuando los intervalos de tiempo tienden a 0 y el número de ellos tiende a infinito tendremos la integral definida de la velocidad respecto al tiempo, que es esto por definición y nos da el espacio recorrido:

\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^Nv(t_i)\frac{t_2-t_1}{N}=x_2-x_1

Lo importante de esto para lo que nos ocupa es que podemos obtener la integral definida de una función evaluando su primitiva en los límites.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Supongamos un móvil que se traslada sobre el eje X de manera que percibe una aceleración ax' constante. A pesar de ello desde su punto de vista siempre estará en reposo (ux'=uy'=uz'=0), y como su aceleración es paralela al eje X, según las ecuaciones (2.11) la aceleración que percibe un observador en reposo también es paralela al eje X. En concreto, aplicando la ecuación (2.13) se tiene que la aceleración medida por este observador es la siguiente:

a_x=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}a_x'

Como la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, ax=dv/dt, y pasando todo al primer miembro:

\frac{1}{a_x'}\frac{1}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}\frac{dv}{dt}=1

Ahora bien, aunque en rigor no son cantidades, se puede operar con los diferenciales dv y dt como si fueran intervalos (en realidad son un límite de un intervalo) con vistas a una integración. De este modo se puede pasar el divisor dt del primer miembro multiplicando al segundo:

dt=\frac{1}{a_x'}\frac{dv}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}}

Además, dx=vdt y en virtud de las transformaciones de coordenadas (2.5) se tiene:

\begin{aligned} dt'&=\frac{dt-\frac{v}{c^2}dx}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ &=\frac{1-\frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}dt\\ &=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt \end{aligned}

Sustituyendo (3.1),

dx=\frac{1}{a_x'}\frac{vdv}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{3}{2}}}

Y

dt'=\frac{1}{a_x'}\frac{dv}{1-\frac{v^2}{c^2}}

Por otro lado, el observador móvil verá que en un tiempo dt' el espacio a su alrededor se desplaza en la dirección opuesta a su movimiento una cantidad ds'=vdt', es decir:

ds'=\frac{1}{a_x'}\frac{vdv}{1-\frac{v^2}{c^2}}

Integrando las ecuaciones (3.1) a (3.4) entre dos puntos A y B de su trayectoria se obtienen el tiempo empleado medido por un observador estático:

\Delta{t}=\frac{1}{a_x'}\int_{v_A}^{v_B}\frac{dv}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}=\frac{1}{a_x'}\left[\frac{v_B}{\sqrt{1-\frac{v_B^2}{c^2}}}-\frac{v_A}{\sqrt{1-\frac{v_A^2}{c^2}}}\right]

El espacio recorrido entre A y B

\Delta{x}=\frac{1}{a_x'}\int_{v_A}^{v_B}\frac{vdv}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}=\frac{c^2}{a_x'}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_B^2}{c^2}}}-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_A^2}{c^2}}}\right]

El tiempo trascurrido para el observador acelerado:

\Delta{t'}=\frac{1}{a_x'}\int_{v_A}^{v_B}\frac{dv}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{c}{2a_x'}\ln\left[\frac{(c+v_B)(c-v_A)}{(c+v_A)(c-v_B)}\right]

Y el espacio que el observador acelerado cree que se ha movido:

\Delta{s}'=\frac{1}{a_x'}\int_{v_A}^{v_B}\frac{vdv}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{c^2}{2a_x'}\ln\left(\frac{c^2-v_A^2}{c^2-v_B^2}\right)

Si aplicamos esto entre el momento en que comienza el movimiento y ponemos los relojes a 0 y otro arbitrario y operamos convenientemente obtenemos la velocidad como una función del tiempo:

v(t)=\frac{a_x't}{\sqrt{1+\frac{a_x'^2t^2}{c^2}}}

Y en función del tiempo propio (el que mide un observador solidario al móvil):

v(t')=c\frac{e^{\frac{2at'}{c}}-1}{e^\frac{2at'}{c}+1}

Podemos comprobar que la velocidad nunca sobrepasa la de la luz, aunque con el tiempo (propio o no) se acerca cada vez más.

Si además el móvil parte del origen de coordenadas, obtenemos su posición sustituyendo estos resultados en (3.6):

\begin{aligned} x(t)&=\frac{c^2}{a_x'}\left(\sqrt{1+\frac{a_x'^2t^2}{c^2}}-1\right)\\ x(t')&=\frac{c^2}{2a_x'}\frac{\left(e^\frac{a_x't'}{c}-1\right)^2}{e^\frac{a_x't'}{c}} \end{aligned}

Y con (3.8) se conoce la relación entre el espacio que cree haber recorrido el móvil -s'- y el tiempo que mide:

s'=\frac{c^2}{2a_x'}\ln\left(\frac{\left(e^\frac{2a_x't'}{c}+1\right)^2}{4e^\frac{2a_x't'}{c}}\right)

Nótese que esta distancia no es en absoluto parecida al espacio recorrido según el observador en tierra firme. En concreto mantienen la siguiente relación:

s'=\frac{c^2}{a_x'}\ln\left(1+\frac{a_x'x}{c^2}\right)

Como se verá que ocurre con el tiempo al principio del movimiento estas distancias son similares, pero según se va adquiriendo velocidad comienza a verse una diferencia importante.

Operando correctamente se obtiene la relación entre el tiempo propio (el que mide el observador móvil) y el que mide un observador estático:

t'=\frac{c}{2a_x'}\ln\left(\frac{\sqrt{c^2+a_x'^2t^2}+a_x't}{\sqrt{c^2+a_x'^2t^2}-a_x't}\right)

Cuando el tiempo medido por el observador estátco, t es corto, el medido por el observador fijo no difiere mucho del primero, pero cuando es suficientemente grande la diferencia es notable, como puede observarse en los siguientes gráficos:

Relación entre el tiempo propio y el de un observador estático
Cuando los tiempos son pequeños la relación entre éstos es casi lineal y no difieren significativamente las medidas del observador fijo y el móvil.
Relación entre el tiempo propio y el de un observador estático
Cuando el objeto acelera durante suficiente tiempo la velocidad es considerable y comienzan a observarse los efectos relativistas. La diferencia entre los tiempos medidos por cada observador llega a ser de varios órdenes de magnitud.

Sin embargo esta gráfica no llega a estabilizarse, es decir, no hay un tiempo propio límite que no llegue a sobrepasarse como hay una velocidad. En el límite en que el objeto acelera durante un tiempo infinito éste ve trascurrir un tiempo también infinito.

Volver al índice

Viaje relativista a aceleración constante

Este problema es un caso particular del anterior. Aquí un móvil parte del reposo, acelera con aceleración constante a hasta alcanzar una cierta velocidad vmax y frena con la misma aceleración -a hasta quedar parado, todo con la intención de recorrer un espacio Δx determinado.

En la primera parte del viaje el espacio que recorre viene dado por (3.6):

\Delta{x}_1=\frac{c^2}{a}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_{max}^2}{c^2}}}-1\right)

Y en la segunda, a aceleración -a parte de una velocidad vmax y acaba con velocidad 0, por lo que el espacio que recorre es

\Delta{x}_2=\frac{c^2}{-a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_{max}^2}{c^2}}}\right)

No hace falta decir que la suma, que es el espacio total recorrido, es el doble del que recorre en la primera mitad del viaje:

\Delta{x}=\Delta{x_1}+\Delta{x_2}=\frac{2c^2}{a}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_{max}^2}{c^2}}}-1\right)

De aquí obtenemos la velocidad máxima en función del espacio que se quiere recorrer y la aceleración del artilugio:

v_{max}=c\frac{\sqrt{a^2\Delta{x}^2+4c^2a\Delta{x}}}{2c^2+a\Delta{x}}

De la misma forma que se hizo con la distancia se obtienen el espacio que cree el observador móvil que recorre Δs', el tiempo propio Δt' y el medido por un observador estático Δt en función de la velocidad máxima aplicando las ecuaciones (3.8), (3.7) y (3.5):

\begin{aligned} \Delta{s'}&=\frac{c^2}{a}\ln\left(\frac{c^2}{c^2-v_{max}^2}\right)\\ \Delta{t'}&=\frac{c}{a}\ln\left(\frac{c+v_{max}}{c-v_{max}}\right)\\ \Delta{t}&=\frac{2}{a}\frac{v_{max}}{\sqrt{1-\frac{v_{max}^2}{c^2}}} \end{aligned}

Con esto ya podemos construir una tabla como la siguiente:

Δx (al) Δs' (al) a (g) vmax (c) Δt (a) Δt' (a)
Introduce nuevos datos:
Algunos ejemplos de viajes de distintas distancias (Δx, en años luz, al) a distintas aceleraciones (a, en proporción a la aceleración de la gravedad, g). Se indica el espacio que el viajero cree que ha recorrido, Δs' en años luz (al), la velocidad máxima que alcanza (vmax) en proporción a la velocidad de la luz (c) y la duración del viaje en años (a), visto por un observador fijo (Δt) y por el móvil (Δt').
1 0.811.00000.7516 2.21 1.89
10 3.521.00000.9867 11.78 4.85
50 6.371.00000.9993 51.90 7.71
50 44.480.01000.6068 147.90 136.36
500 247.130.01000.9602 666.14 377.53
2500 509.960.01000.9974 2686.76 643.99
2500 2351.360.00010.4642 10154.79 9739.37
25000 16055.650.00010.8997 39921.15 28487.36
125000 38912.160.00010.9910 143068.13 52253.35

Como podemos comprobar un viaje de este tipo a Alfa Centauri, la estrella más próxima al Sol a 4.37 años-luz de distancia llevaría algo menos de 3 años y 7 meses a una aceleración como la de la gravedad terrestre (aunque visto desde la Tierra serían algo más de 6 años). Uno al centro de la galaxia, a 27700 años-luz a esta misma aceleración duraría algo más de 19 años y 10 meses (aunque en la Tierra habrían pasado casi 27702 años).

Tener que esperar menos de 4 años para obtener valiosísimos datos de otras estrellas o 20 para colonizar el centro de la galaxia parece asumible desde el punto de vista psicológico, pero en la actualidad pocos propulsores son capaces de proporcionar una aceleración tan alta, y mucho menos de mantenerla durante 3 años y 7 meses; no solo por el increíble gasto de combustible que supondría, si no por la degradación de la propia máquina.

El motor más prometedor del que el autor tiene noticia hasta la fecha es un motor iónico que se mantuvo funcionando 5 años y medio. Éste es capaz de dar a una sonda una velocidad de 40 km/s, lo que significa que le habría proporcionado una aceleración de 2.58×10-5 veces la de la gravedad. Con este motor una sonda podría haber llegado a unos 1577 millones de kilómetros de distancia en ese tiempo, habiendo ganado 117 milésimas de segundo y 3.5 kilómetros respecto a un observador inercial. Esta distancia es sólo ligeramente mayor que el semieje mayor de la órbita de Saturno (1513 millones de kilómetros), así que sigue estando dentro del sistema Solar. Para que un motor como este llegase a la estrella más cercana al Sol (a 4.37 años-luz) tendría que funcionar ininterrumpidamente durante 809 años, habiendo ganado 5.75 días y 1205 millones de kilómetros (8.06 unidades astronómicas) respecto a su posición inicial.

Volver al índice

Referencias

En este texto se ha hecho referencia a las siguientes páginas:

Volver al índice

Recursos empleados en este artículo

Todo el material de este artículo se ha elaborado usando herramientas libres:

Además se ha usado MathTex para renderizar todas las ecuaciones.

Volver al índice